Disputas om matematiske strukturer

I matematikk og fysikk er klassifikasjon av en gitt matematisk struktur viktig. Hvordan klassifiserer man objekter av en matematisk struktur med en gitt egenskap, og hvordan ser de ut? Hvor mange strukturer finnes det? Og kan man karakterisere disse på en måte? Dette er utgangspunktet for Hellelands avhandling. Han gjennomførte doktorgradsprosjektet sitt ved Institutt for matematikk og fysikk ved Universitetet i Stavanger.

I prosjektet gikk Helleland i dybden på en form for matematiske strukturer som kalles Lie-grupper. En Lie-gruppe er en type geometrisk struktur, som i seg selv består av symmetrier. Helleland har tatt for seg forholdet mellom "reelle" strukturer som ligger i den samme komplekse strukturen, det vil si at alle disse reelle strukturene kan være ulike over de reelle tallene.

Sammenhengen mellom reelle strukturer som gir opphav til samme komplekse struktur er en viktig problemstilling i mange matematiske områder, ikke minst i teoretisk og matematisk fysikk. I avhandlingen studerer Helleland gruppevirkninger av en Lie-gruppe på et såkalt vektorrom. Han har undersøkt om det finnes reelle baner som ligger i den samme komplekse banen, som har relasjon til klassifikasjonsspørsmål. Helleland fant kriterier for når slike reelle baner eksisterer i den samme komplekse banen.

Såkalte Wick-rotasjoner står sentralt i Hellelands arbeid. Det er en betegnelse på reelle rom i samme komplekse rom. Wick-rotasjoner er viktig i fysikk og matematikk, blant annet fordi den transporterer egenskaper fra det ene rommet til det andre. Ofte er det enklere å jobbe med ett rom, og dermed kan man transportere egenskapene tilbake til det andre rommet. Hvis man vil se nærmere på en egenskap som er bevart under Wick-rotasjoner, kan man sjekke om det andre rommet har egenskapen, og dermed transportere det tilbake til det originale rommet.

Tittelen på avhandlingen til Helleland er "A mathematical approach to Wick Rotations".